题目内容

对于正数x，规定 f(x)=
1
1+x
，例如：f(4)=
1
1+4
=
1
5
，f(
1
4
)=
1
1+
1
4
=
4
5
，求f（2013）+f（2012）+…+f(2)+f(1)+f(
1
2
)+…f(
1
2012
)+f(
1
2013
)．
分析：根据题中的新定义得到f（
1
n
）=
n
n+1
，f（n）+f（
1
n
）=1，所求式子化简即可求出值．
解答：解：当x=1时，f（1）=
1
2
；
当x=2时，f（2）=
1
3
，当x=
1
2
时，f（
1
2
）=
2
3
，f（2）+f（
1
2
）=1；
当x=3时，f（3）=
1
4
，当x=
1
3
时，f（
1
3
）=
3
4
，f（3）+f（
1
3
）=1；
当x=n时，f（3）=
1
n+1
，当x=
1
n
时，f（
1
n
）=
n
n+1
，f（n）+f（
1
n
）=1，…，
∴f（n）+f（n-1）+…+f（2）+f（1）+f（
1
2
）+…+f（
1
n-1
）+f（
1
n
）=n-1+
1
2
=n-
1
2
，
∴当x=2013时，f（2013）+f（2012）+…+f（2）+f（1）+f（
1
2
）+…+f（
1
2012
）+f（
1
2013
）=2012.5．
点评：此题考查了分式的加减法，分式加减运算的关键是通分，通分的关键是找最简公分母．
练习册系列答案
相关题目
对于正数x，规定f（x）=
x
1+x
，计算f（
1
100
）+f（
1
99
）+f（
1
98
）+…+f（
1
3
）+f（
1
2
）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（98）+f（99）+f（100）=
 
．
对于正数x，规定f(x)=
x
1+x
，例如f（3）=
3
1+3
=
3
4
，f(
1
3
)=
1
3
1+
1
3
=
1
4
，计算：f(
1
2011
)+f(
1
2010
)+f(
1
2009
)+…+f(
1
3
)+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)+f（2010）+f（2011）=
 
．
精英家教网（1）对于正数x，规定f（x）=
x
1+x
，例如f（3）=
3
1+3
=
3
4
，f（
1
3
）=
1
3
1+
1
3
=
1
4

计算：f（
1
2009
)+f（
1
2008
）+f（
1
2007
）+…+f（
1
3
）+f（
1
2
）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2007）+f（2008）+f（2009）
（2）已知：如图，O为平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x，y轴分交于点A，C，点A的坐标为(-
3
，0)，AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．求∠CAO的度数．
（2009•九龙坡区一模）对于正数x，规定f（x）=
x
1+x
，比如 f（3）=
3
1+3
，f(
1
2
)=
1
2
1+
1
2
=
1
3
，则计算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f(
1
100
)+f(
1
99
)+…+f(
1
3
)+f(
1
2
)+f（1）=
100
100
．
对于正数x，规定f(x)=
x
1+x
，例如：f(3)=
3
1+3
=
3
4
，f(
1
3
)=
1
3
1+
1
3
=
1
4
．
求f(
1
2006
)+f(
1
2005
)+…+f(
1
3
)+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f(2005)+f(2006)的值．

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