Question

对于正数x，规定f（x）=

x

1+x

，计算f（

1

100

）+f（

1

99

）+f（

1

98

）+…+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（98）+f（99）+f（100）=

 

．

Answer 1

分析：通过计算f（1）+f（1）=1，f（2）+f（

1

2

）=1，f（3）+f（

1

3

）=1，…可以推出则f（

1

100

）+f（

1

99

）+…+f（1）+f（100）结果．

解答：解：∵f（1）=

1

1+1

=

1

2

，f（1）+f（1）=1，
f（2）=

2

1+2

=

2

3

，f（

1

2

）=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，f（2）+f（

1

2

）=1，
f（3）=

3

1+3

=

3

4

，f（

1

3

）=

1 3

1+ 1 3

=

1

4

，f（3）+f（

1

3

）=1，
…
f（100）=

1

1+100

=

1

101

，f（

1

100

）=

1 101

1+ 1 101

=

1

101

，f（100）+f（

1

101

）=1，
∴f（

1

100

）+f（

1

99

）+f（

1

98

）+…+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（98）+f（99）+f（100）=100-

1

2

=99

1

2

故答案为：99

1

2

．

点评：本题的关键是理解好f（x）=

x

1+x

，同时对整理好的分式要注意观察特点，能够看出

1

101

+

100

101

=1，其他分式亦如此．本题若有常规方法，则较繁琐，灵活应用拆项法，则可化繁为简，可见，打破习惯性思维，有利于提高解题能力．