Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）AB＝4，与y轴交于点C，OC＝OA，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图1，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积；

（3）在(2)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ,过抛物线上一点F作y轴的平行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方),若FG=DQ,求点F的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）m=-2，△AEM的面积为；（3）F（-4，-5）或（1，0）．

【解析】

（1）根据抛物线y=ax2+2ax+c，可得C（0，c），对称轴为x=-1，再根据OC=OA，AB=4，可得A（-3，0），最后代入抛物线y=ax2+2ax+3，得抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）根据点M（m，0），可得矩形PQNM中，P（m，-m2-2m+3），Q（-2-m，-m2-2m+3），再根据矩形PQNM的周长=2（PM+PQ）=-2（m+2）2+10，可得当m=-2时，矩形PQNM的周长有最大值10，M的坐标为（-2，0），最后由直线AC为y=x+3，AM=1，求得E（-2，1），ME=1，据此求得△AEM的面积；

（3）在（2）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ=DC=，再建立方程（n+3）-（-n2-2n+3）=4即可．

解：（1）由抛物线y=ax2+2ax+c，可得C（0，c），对称轴为x==-1，
∵OC=OA，
∴A（-c，0），B（-2+c，0），
∵AB=4，
∴-2+c-（-c）=4，
∴c=3，
∴A（-3，0），
代入抛物线y=ax2+2ax+3，得
0=9a-6a+3，
解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
（2）如图1，∵M（m，0），PM⊥x轴，

∴P（m，-m2-2m+3），
又∵对称轴为x=-1，PQ∥AB，
∴Q（-2-m，-m2-2m+3），
又∵QN⊥x轴，
∴矩形PQNM的周长
=2（PM+PQ）
=2[（-m2-2m+3）+（-2-m-m）]
=2（-m2-4m+1）
=-2（m+2）2+10，
∴当m=-2时，矩形PQNM的周长有最大值10，
此时，M（-2，0），
由A（-3，0），C（0，3），可得
直线AC为y=x+3，AM=1，
∴当x=-2时，y=1，即E（-2，1），ME=1，

∴△AEM的面积= ；

（3）∵M（-2，0），抛物线的对称轴为x=-l，
∴N应与原点重合，Q点与C点重合，
∴DQ=DC，
把x=-1代入y=-x2-2x+3，解得y=4，
∴D（-1，4），
∴DQ=DC=．
∵FG=2DQ，
∴FG=4．
设F（n，-n2-2n+3），则G（n，n+3），
∵点G在点F的上方且FG=4，
∴（n+3）-（-n2-2n+3）=4．
解得n=-4或n=1，
∴F（-4，-5）或（1，0）．