Question

26、已知关于x的方程x²-2x-m=0无实根（m为实数），证明关于x的方程x²+2mx+1+2（m²-1）（x²+1）=0也无实根．

Answer 1

分析：首先根据已知方程无实数根，得△＜0，求得m的取值范围，再进一步证明新的方程中△＜0即可．

解答：证明：∵x²-2x-m=0无实根，
∴△=4+4m＜0，
即m＜-1．
又方程x²+2mx+1+2（m²-1）（x²+1）=0化为一般形式：
方程（2m²-1）x²+2mx+2m²-1=0，
△=4m²-4（2m²-1）²=4（m+2m²-1）（m-2m²+1）=4（m+1）（2m-1）（-m+1）（2m+1），
∴m+1＜0，-m+1＞0，2m-1＜0，2m+1＜0，
∴△＜0，
∴该方程无实数根．

点评：此题要能够根据一元二次方程无实数根确定字母的取值范围，反过来，根据字母的取值范围确定方程根的情况．
特别注意熟练运用因式分解法进行分析．