Question

已知：如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE．AF∥BC，且AF=

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2

BC，连接DF．
（1）求证：四边形AFDE是平行四边形；
（2）如果AB=AC，∠BAC=60°，求证：AD⊥EF．

Answer 1

分析：（1）通过证明边DE平行且等于对边AF，即可证明四边形AFDE是平行四边形；
（2）由题意得△ABC是等边三角形，故有AC=BC，又点E是AC的中点，可得出DE=AE，四边形AFDE是菱形，再根据菱形的对角线互相垂直平分得证．

解答：证明：（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
即得  DE∥BC，DE=

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BC．                                     …（2分）
∵AF∥BC，AF=

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2

BC，
∴DE∥AF，DE=AF．                                             …（2分）
∴四边形AFDE是平行四边形．                                      …（1分）

（2）∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，即得：AC=BC．                              …（1分）
于是，由点E是AC的中点，得  DE=

1

2

BC=

1

2

AC=AE．               …（1分）
又∵四边形AFDE是平行四边形，
∴四边形AFDE是菱形．                                              …（1分）
∴AD⊥EF．                                                        …（1分）

点评：本题考查平行四边形和菱形的判定与性质，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和菱形的判定定理，且菱形的对角线互相垂直平分．