Question

【题目】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接， ，是第四象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为交于点，过点作交轴于点，交于点．

（1）求抛物线 的解析式；

（2）求面积的最大值；

（3）① 试探究在点的运动过程中，是否存在这样的点，使得以 为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；

② 请直接写出当等腰直角三角形时，点的坐标 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①点的坐标为或，②点的坐标为

【解析】

（1）根据抛物线经过A、B两点和可得点C坐标，从而利用待定系数法求出抛物线表达式；

（2）求出AC和BC的表达式，过点作于点，设，得出当最大时，最大，设点的坐标为(，)，将PQ用关于t的式子表示出来，求出PQ的最大值即可得到的最大值；

（3）①设点的坐标为，分AC=AQ，AC=CQ两种情况，结合等腰三角形的性质求出点Q坐标即可；

②设点的坐标为，证明△AOC∽△EMP，表示出EM和QM，建立方程，解之即可.

解：（1）抛物线与轴交于点，且 ，

∴，点的坐标为．

∴．

∴，

解得，

∴ 抛物线的解析式为；

（2） ∵ 点，

∴ 直线的解析式为．

∵点，

∴ 直线的解析式为，

∵轴，

∴，

如图，过点作于点 ，设，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴ 当最大时，最大 ，

设点的坐标为(，)，

则 ，

∴，

当时， 最大值为，

∴，

∴；

（3）① 存在，设点的坐标为，

则．

如图，当时，有，

解得 =0 (舍)，

=1 ，此时点的坐标为；

如图，当时，

，有

解得，（舍），，

此时点的坐标为，

综上，以 为顶点的三角形是等腰三角形时，点的坐标为或；

②当△EMQ为等腰直角三角形时，设点的坐标为，

∴点P坐标为(，)，

∵PE∥AC，

∴可得△AOC∽△EMP，

则,

∴EM=，

∵EM=QM，

∴=4-n，

解得：n=1或n=4（舍），

∴点的坐标为.