Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，⊙B与⊙O相交于点A、D、AD交BC于点E，交⊙O的直径BF于点G．
（1）求证：①△ABC∽△EBA；②AE•ED=AB²-EB²．
（2）AB=，BF=15，AE：ED=1：3，求BC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由AD是⊙B与⊙O的公共弦，可得AD⊥OB，由垂径定理与圆周角定理易得∠C=∠BAD，继而可证得：△ABC∽△EBA；
②由勾股定理与平方差公式可得在Rt△ABG中，AB²=BG²+AG²，在Rt△EBG中，EB²=BG²+EG²，即AB²-EB²=AG²-EG²=（AG+EG）（AG-EG）=（DG+EG）（AG-EG）=ED•AE；
（2）首先连接OA，CF，由勾股定理可求得BG的长，继而求得AG与AE，EG的长，即可求得∠EBG的度数，然后由三角函数的求得BC的长．
解答：（1）证明：①∵AD是⊙B与⊙O的公共弦，
∴AD⊥OB，
∴=，
∴∠C=∠BAD，
∵∠ABE=∠CBA（公共角），
∴△ABC∽△EBA；

②∵AD⊥OB，
∴AG=DG，
∵在Rt△ABG中，AB²=BG²+AG²，在Rt△EBG中，EB²=BG²+EG²，
∴AB²-EB²=AG²-EG²=（AG+EG）（AG-EG）=（DG+EG）（AG-EG）=ED•AE，
∴AE•ED=AB²-EB²．

（2）解：连接OA，CF，
∵BF=15，
∴OB=OA=，
设BG=x，
则OE=-x，
在Rt△ABG中，AE²=AB²-BG²，在Rt△OAG中，AE²=OA²-OG²，
∴AB²-BG²=OA²-OG²，
∵AB=，
∴（3）²-x²=（）²-（-x）²，
解得：x=3，
∴BG=3，
∴AG==6，
∴AD=2AG=12，
∵AE：ED=1：，
∴AE=3，
∴EG=AG-AE=3，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴∠EBG=45°，
∵BF是直径，
∴∠BCF=90°，
∴BC=BF•cos45°=．
点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、相交圆的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．