Question

如图12，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，

交AB于H，交⊙O于G.

　 （1）求证：；

　 （2）若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，

求阴影部分的面积.（结果保留根号）

Answer 1

（1）∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.………………（1分）

∵FG⊥AB，∴DA∥FO.

∴∠EOF＝∠EDA，∠EFO＝∠EAD.

∴△FOE∽△ADE.

∴.即OF·DE＝OE·AD.  ……（3分）

∵O是BD的中点，DA∥OH，

∴AD＝2OH.……………………………………（4分）

∴OF·DE＝OE·2OH.………………………………………………………（5分）

（2）∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，

∴OE＝4，ED＝8，OF＝6.…………………………………………………（6分）

代入（1）结论得AD＝12.  ∴OH＝6.

在Rt△ABC中，OB＝2OH，∴∠BOH＝60°.

∴BH＝BO·sin60°＝12×＝6.………………………………………（8分）

∴S_阴影＝S_扇形GOB－S_△OHB＝－×6×6＝24.（10分）