Question

如图，直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连结BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E。
（1）△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
（2）当点C运动到什么位置时，使得以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）△OBC≌△ABD
      理由：∵△AOB和△CBD是等边三角形 
                ∴OB=AB　∠OBA=∠OAB=60°
                 BC=BD　∠CBD=60° 
             ∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC          
              　即∠OBC=∠ABD 　　　　　　
                 在△OBC和△ABD中 
                
                  ∴△OBC≌△ABD（SAS）
      （2）∵△OBC≌△ABD 
               ∵∠BAD=∠BOC=60° 　　　　　
               又∵∠OAB=60° 　　　　　　
                ∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°
                 ∴Rt△OEA中，AE=2OA=2 
              ∴当AC=AE=2，即当点C坐标为（3，0）时，符合要求。