Question

已知：如图，AD∥BC，AB=CD，对角线CA平分∠BCD，AD=5，tanB=

3

4

，求BC的长．

Answer 1

分析：作梯形的两条高，构造了一个矩形和两个直角三角形．根据角平分线的定义和平行线的性质得到等腰三角形ACD，即CD=AD=5．再根据锐角三角函数的概念得到AE：BE，结合勾股定理得到BE：AB=3：5，从而求得BE的长，再进一步计算出CF和EF的长．

解答：解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，如下图所示，
∵AC平分∠BCD，
∴∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴AD=DC．∵AD=5，AB=DC，
∴AD=DC=AB=5．
过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．
∴∠AEB=90°．
在Rt△AEB中，
tanB=

AE

BE

=

3

4

．
设AE=3x，则BE=4x．
∵AB=5，
∴（3x）²+（4x）²=5²．
∴x=1（负值舍去）．
∴AE=3，BE=4．同理可得FC=4．
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∴EF=AD=5．
∴BC=13．

点评：本题考查解直角三角形的知识，注意掌握作两高也是梯形中常见的辅助线之一．能够发现等腰三角形，运用锐角三角函数的知识得到边之间的关系，从而求得该梯形的下底．