Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边AC、BC的长恰是方程x²-4x+2=0的两个不同的根，则Rt△ABC的斜边上的高线CD的长为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   2

Answer 1

A
分析：先利用根与系数的关系得到AC+BC=4和AC•BC=2，再把AC+BC=4两边平方，得到AC²+BC²的值，由勾股定理可得AB²=AC²+BC²，从而求出斜边AB的值，又因为S_△ABC=AC•BC=AB×CD，所以把已知数据代入可求出CD的长．
解答：∵两直角边AC、BC的长恰是方程x²-4x+2=0的两个不同的根，
∴AC+BC=-=4，AC•BC==2，
∴（AC+BC）²=16，
∴AC²+BC²+2AC•BC=16，
∴AC²+BC²=16-2AC•BC=12，
∵∠C=90°，
∴AB²=AC²+BC²=12，
∴AB==2，
∵S_△ABC=AC•BC=AB×CD，
∴×2=×2×CD，
∴CD=．
故选A．
点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-，x₁x₂=和勾股定理以及三角形的面积公式的应用．