Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx-3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中B点的坐标为（3，0）．
（1）直接写出A点的坐标；
（2）求二次函数y=ax²+bx-3的解析式，并求出抛物线的顶点坐标；
（3）在该二次函数的对称轴上是否存在一点P，使得点P到B、C两点的距离相等？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用关于对称轴对称点的坐标性质得出A点坐标即可；
（2）利用待定系数法求二次函数解析式进而利用配方法求顶点坐标即可；
（3）首先得出线段BC的垂直平分线的位置，进而得出其解析式，在求出它与直线x=1的交点，即可得出答案．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-3的对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），
∴A点横坐标为：

1-3

2

=-1，
∴A点的坐标为：（-1，0）；

（2）将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx-3得：

a-b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得：

a=1 b=-2

，
∴抛物线解析式为：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，-4）；

（3）∵x=0时，y=x²-2x-3=-3，
∴C点坐标为：（0，-3），
∴BO=3，CO=3，
∴△COB是等腰直角三角形，
过点O作OE⊥BC于点E，
则OE垂直平分BC，此时OE上的所有点到B，C两点距离相等，
∴E点坐标为：（

3

2

，-

3

2

），
将E点代入y=kx得：-

3

2

=

3

2

k，
解得：k=-1，
∴直线OE的解析式为：y=-x，
当x=1时，y=-1，
∴直线EO与直线x=1的交点坐标为；（1，-1），故P点坐标为：（1，-1）此时点P到B、C两点的距离相等．

点评：此题主要考查了二次函数的对称性以及待定系数法求二次函数解析式和等腰三角形的性质等知识，根据已知得出P点位置是解题关键．