Question

如图，已知正方形ABCD的边长为6，以AB为直径的⊙O交对角线AC于点F，E是⊙O上一点．
（1）求∠AEF的度数；
（2）求图中阴影部分的面积；
（3）若AE=5，求∠AFE的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用圆周角定理直接得出答案；
（2）利用S_阴影=S_△ABC-S_△AOF-S_扇形OBF进而得出答案；
（3）利用三角函数关系得出Sin∠AFE=Sin∠ABE进而求出答案．

解答：解：（1）连接OF．∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠CAB=45°，
∵OF=OA，∠AFO=∠CAB=45°，
∴∠AOF=90°，
∴∠AEF=

1

2

∠AOF=45°；

（2）∵AB=BC=6，
∴OF=OA=r=3，∠FOB=∠AOF=90°，
∴S_阴影=S_△ABC-S_△AOF-S_扇形OBF=

1

2

AB×BC-

1

2

AO×OF-

90πr2

360

，
=

1

2

×6²-

1

2

×3²-

π×32

4

，
=

27

2

-

9π

4

；

（3）连接BE，可得∠AFE=∠ABE
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴sin∠AFE=sin∠ABE=

AE

AB

=

5

6

．

点评：此题主要考查了圆周角定理以及扇形的面积公式和正方形的面积等知识，熟练地应用圆周角定理以及锐角三角函数是解决问题的关键．