题目内容
（2013•工业园区二模）已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．
（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求AE的长和△FCG的面积；
（2）如图2，设AE=x，△FCG的面积=S1，求S1与x之间的函数关系式与S1的最大值；
（3）在（2）的条件下，如果矩形EFGH的顶点F始终在矩形ABCD内部，连接BF，记△BEF的面积为S2，△BCF的面积为S3，试说明6S1+3S2-2S3是常数．
（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求AE的长和△FCG的面积；
（2）如图2，设AE=x，△FCG的面积=S1，求S1与x之间的函数关系式与S1的最大值；
（3）在（2）的条件下，如果矩形EFGH的顶点F始终在矩形ABCD内部，连接BF，记△BEF的面积为S2，△BCF的面积为S3，试说明6S1+3S2-2S3是常数．
分析：（1）过点F作FM⊥CD于M，利用AAS证明△AEH≌△DHG≌△MGF，根据全等三角形的对应边相等得出AE=DH=6-2=4，DG=AH=FM=2，再根据三角形的面积公式即可求出△FCG的面积；
（2）过点F作FM⊥CD于M．根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEH∽△DHG，由相似三角形的对应边成比例得到
=
，则DG=
，CG=8-
，再根据三角形的面积公式得到△FCG的面积=S1=8-
，结合自变量x的取值范围，即可求出S1的最大值；
（3）类似上题求得S1=8-
，S2=16-2x，S3=24-3x-
，将它们代入6S1+3S2-2S3，计算即可求出其值．
（2）过点F作FM⊥CD于M．根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEH∽△DHG，由相似三角形的对应边成比例得到
| DG |
| AH |
| DH |
| AE |
| 8 |
| x |
| 8 |
| x |
| 8 |
| x |
（3）类似上题求得S1=8-
| 8 |
| x |
| 24 |
| x |
解答：解：（1）过点F作FM⊥CD于M．
∵四边形EFGH为正方形，四边形ABCD是矩形，
∴HE=GH=FG，∠EHG=∠HGF=90°，∠A=∠D=90°，
∴∠AEH=∠DHG=90°-∠AHE，∠DHG=∠MGF=90°-∠HGD，
∴∠AEH=∠DHG=∠MGF．
在△AEH、△DHG与△MGF中，
，
∴△AEH≌△DHG≌△MGF（AAS），
∴AE=DH=6-2=4，DG=AH=FM=2，
∴△FCG的面积=
•CG•FM=
×6×2=6；
（2）
过点F作FM⊥CD于M．
在△AEH与△DHG中，
∵∠A=∠D=90°，∠AEH=∠DHG=90°-∠AHE，
∴△AEH∽△DHG，
∴
=
，即
=
，
∴DG=
，
∴CG=DC-DG=8-
，
∵FM=2，
∴△FCG的面积=S1=
•CG•FM=
（8-
）×2=8-
，
∵0＜x≤8，
∴当x=8时，S1的最大值为7；
（3）由（2）可得S1=
（8-
）×2=8-
．
过
点F作FN⊥AB于N，易证△NFE≌△DHG，
∴FN=HD=4，EN=GD=
，
∵BE=AB-AE=8-x，
∴S2=
•BE•FN=
（8-x）×4=16-2x；
过点F作FP⊥BC于P，则四边形FNBP是矩形，
∴FP=BN=AB-AE-EN=8-x-
，
∴S3=
•FP•BC=
（8-x-
）×6=24-3x-
，
∴6S1+3S2-2S3
=6（8-
）+3（16-2x）-2（24-3x-
）
=48-
+48-6x-48+6x+
=48．
∵四边形EFGH为正方形，四边形ABCD是矩形，
∴HE=GH=FG，∠EHG=∠HGF=90°，∠A=∠D=90°，
∴∠AEH=∠DHG=90°-∠AHE，∠DHG=∠MGF=90°-∠HGD，
∴∠AEH=∠DHG=∠MGF．
在△AEH、△DHG与△MGF中，
|
∴△AEH≌△DHG≌△MGF（AAS），
∴AE=DH=6-2=4，DG=AH=FM=2，
∴△FCG的面积=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）
过点F作FM⊥CD于M．在△AEH与△DHG中，
∵∠A=∠D=90°，∠AEH=∠DHG=90°-∠AHE，
∴△AEH∽△DHG，
∴
| DG |
| AH |
| DH |
| AE |
| DG |
| 2 |
| 4 |
| x |
∴DG=
| 8 |
| x |
∴CG=DC-DG=8-
| 8 |
| x |
∵FM=2，
∴△FCG的面积=S1=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 8 |
| x |
| 8 |
| x |
∵0＜x≤8，
∴当x=8时，S1的最大值为7；
（3）由（2）可得S1=
| 1 |
| 2 |
| 8 |
| x |
| 8 |
| x |
过
点F作FN⊥AB于N，易证△NFE≌△DHG，∴FN=HD=4，EN=GD=
| 8 |
| x |
∵BE=AB-AE=8-x，
∴S2=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
过点F作FP⊥BC于P，则四边形FNBP是矩形，
∴FP=BN=AB-AE-EN=8-x-
| 8 |
| x |
∴S3=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 8 |
| x |
| 24 |
| x |
∴6S1+3S2-2S3
=6（8-
| 8 |
| x |
| 24 |
| x |
=48-
| 48 |
| x |
| 48 |
| x |
=48．
点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形的面积，代数式的变形与计算能力，综合性较强，难度适中．通过证明三角形全等与相似得到边之间的对应关系是解题的关键．
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