题目内容
（2013•工业园区二模）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y=
x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点C是AB的中点，CD⊥AB且CD=AB．直线BE与y轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接AD、AF、DF．
（1）若点F的坐标为（
，1），AF=
．
①求此抛物线的解析式；
②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；
（2）若2b+c=-2，b=-2-t，且AB的长为kt，其中t＞0．如图2，当∠DAF=45°时，求k的值和∠DFA的正切值．
| 1 |
| 2 |
（1）若点F的坐标为（
| 9 |
| 2 |
| 17 |
①求此抛物线的解析式；
②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；
（2）若2b+c=-2，b=-2-t，且AB的长为kt，其中t＞0．如图2，当∠DAF=45°时，求k的值和∠DFA的正切值．
分析：（1）①在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AB的长，则A的坐标可以求得，然后代入二次函数的解析式，即可求得函数的解析式；
②分四边形AFPQ、AFQP，AQFP、AQPF四种情况进行讨论，当AF时对角线时，P一定是顶点，根据对角线互相平分即可求得Q的坐标；当AF时平行四边形的一边时，P到对称轴的距离一定等于AB，即可求得Q的横坐标，则过P作PM⊥对称轴于M，则BF=DM，据此即可求得Q的坐标．
（2）首先求得点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（2t+2，0），再根据AB的长即可求得k的值，过点D作DG∥x轴交BE于点G，则易证四边形ABGH是矩形，同理四边形CBGD是矩形，在Rt△DGF中，DF2=DG2+GF2，据此即可得到一个关于t的方程，解方程即可求得BF的长，利用三角函数的定义即可求解．
②分四边形AFPQ、AFQP，AQFP、AQPF四种情况进行讨论，当AF时对角线时，P一定是顶点，根据对角线互相平分即可求得Q的坐标；当AF时平行四边形的一边时，P到对称轴的距离一定等于AB，即可求得Q的横坐标，则过P作PM⊥对称轴于M，则BF=DM，据此即可求得Q的坐标．
（2）首先求得点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（2t+2，0），再根据AB的长即可求得k的值，过点D作DG∥x轴交BE于点G，则易证四边形ABGH是矩形，同理四边形CBGD是矩形，在Rt△DGF中，DF2=DG2+GF2，据此即可得到一个关于t的方程，解方程即可求得BF的长，利用三角函数的定义即可求解．
解答：解：（1）①∵直线BE与y轴平行，点F的坐标为（
，1），
∴点B的坐标为（
，0），∠FBA=90°，BF=1．
在Rt△EFM中，AF=
，
∴AB=
=
=4．
∴点A的坐标为（
，0）．
∴抛物线的解析式为y=
(x-
)(x-
)=
x2-
x+
．
②第一：以AF为对角线，抛物线顶点为一个顶点．
第二：以AF为其中一条边分别向左和向右做平行四边形．
∴点Q的坐标为：Q1（
，3），Q2（
，5），Q3（
，7）．
（2）∵2b+c=-2，b=-2-t，
∴c=2t+2．
∴y=
x2-(2+t)x+2t+2．
由
x2-(2+t)x+2t+2=0，（x-2）（x-2t-2）=0．
解得 x1=2，x2=2t+2．
∵t＞0，
∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（2t+2，0）．
∴AB=2t+2-2=2t，
即 k=2．
过点D作DG∥x轴交BE于点G，
AH∥BE交直线DG于点H，延长
DH至点M，使HM=BF．（如图）
∵DG∥x轴，AH∥BE，
∴四边形ABGH是平行四边形．
∵∠ABF=90°，
∴四边形ABGH是矩形．
同理四边形CBGD是矩形．
∴AH=GB=CD=AB=GH=2t．
∵∠HAB=90°，∠DAF=45°，
∴∠1+∠2=45°．
∵在△AFB和△AMH中，
∴△AFB≌△AMH（SAS）．
∴∠1=∠3，AF=AM，∠4=∠M．
∴∠3+∠2=45°．
∵在△AFD和△AMD中，
，
∴△AFD≌△AMD（SAS）．
∴∠DFA=∠M，FD=MD．
∴∠DFA=∠4．
∵C是AB的中点，
∴DG=CB=HD=t．
设BF=x，则GF=2t-x，FD=MD=t+x．
在Rt△DGF中，DF2=DG2+GF2，
∴（t+x）2=t2+（2t-x）2，
解得 x=
．
∴tan∠DFA=tan∠4=
=2t÷
=3．
| 9 |
| 2 |
∴点B的坐标为（
| 9 |
| 2 |
在Rt△EFM中，AF=
| 17 |
∴AB=
| AF2-FB2 |
| 17-1 |
∴点A的坐标为（
| 1 |
| 2 |
∴抛物线的解析式为y=| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 9 |
| 8 |
②第一：以AF为对角线，抛物线顶点为一个顶点．
第二：以AF为其中一条边分别向左和向右做平行四边形．
∴点Q的坐标为：Q1（
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
（2）∵2b+c=-2，b=-2-t，
∴c=2t+2．
∴y=
| 1 |
| 2 |
由
| 1 |
| 2 |
解得 x1=2，x2=2t+2．
∵t＞0，
∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（2t+2，0）．
∴AB=2t+2-2=2t，
即 k=2．
过点D作DG∥x轴交BE于点G，
AH∥BE交直线DG于点H，延长
DH至点M，使HM=BF．（如图）
∵DG∥x轴，AH∥BE，
∴四边形ABGH是平行四边形．
∵∠ABF=90°，
∴四边形ABGH是矩形．
同理四边形CBGD是矩形．
∴AH=GB=CD=AB=GH=2t．
∵∠HAB=90°，∠DAF=45°，
∴∠1+∠2=45°．
∵在△AFB和△AMH中，
|
∴△AFB≌△AMH（SAS）．
∴∠1=∠3，AF=AM，∠4=∠M．
∴∠3+∠2=45°．
∵在△AFD和△AMD中，
|
∴△AFD≌△AMD（SAS）．
∴∠DFA=∠M，FD=MD．
∴∠DFA=∠4．
∵C是AB的中点，
∴DG=CB=HD=t．
设BF=x，则GF=2t-x，FD=MD=t+x．
在Rt△DGF中，DF2=DG2+GF2，
∴（t+x）2=t2+（2t-x）2，
解得 x=
| 2t |
| 3 |
∴tan∠DFA=tan∠4=
| AB |
| FB |
| 2t |
| 3 |
点评：考查了二次函数综合题，本题是待定系数法求函数的解析式，矩形的判定，三角形的全等的判定与性质以及勾股定理的综合应用，难度较大．
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