Question

如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论：

①BD是∠ABC的平分线；

②△BCD是等腰三角形；

③△ABC∽△BCD；

④△AMD≌△BCD．

正确的有________个．

[　　]

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

答案：B
解析：

解：∵AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M， 　　∴AD＝BD， 　　∴∠ABD＝∠A＝36°， 　　∵AB＝AC， 　　∴∠ABC＝∠C＝72°， 　　∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝36°， 　　∴∠ABD＝∠CBD， 　　∴BD是∠ABC的平分线；故①正确； 　　∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝72°， 　　∴∠BDC＝∠C＝72°， 　　∴△BCD是等腰三角形，故②正确； 　　∵∠C＝∠C，∠BDC＝∠ABC＝72°， 　　∴△ABC∽△BCD，故③正确； 　　∵△AMD中，∠AMD＝90°，△BCD中没有直角， 　　∴△AMD与△BCD不全等，故④错误． 　　故选B． 　　分析：首先由AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M，求得△ABD是等腰三角形，即可求得∠ABD的度数，又由AB＝AC，即可求得∠ABC与∠C的度数，则可求得所有角的度数，可得△BCD也是等腰三角形，则可证得△ABC∽△BCD． 　　点评：此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．