Question

【题目】如图，四边形是矩形纸片且，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点处，折痕与相交于点，再次展开，连接，.

（1）连接，求证：是等边三角形；

（2）求，的长；

（3）如图，连接将沿折叠，使点落在点处，延长交边于点，已知，求的长？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）由折叠知，据此得∠ENB=30°，∠ABN=60°，结合AB=BN即可得证；

（2）由（1）得∠ABN=60°，由AB折叠到BN知∠ABM=30°，结合AB=6得，证EQ为△ABM的中位线得，再求出EN=，根据QN=EN-EQ可得答案；

（3）连接FH，MK⊥BC，证Rt△FGH≌Rt△FCH得GH=CH=1，设MD=x，知MG=x，MH=x+1，KH=MD-CH=x-1，在Rt△MKH中，根据MK2+KH2=MH2可求出x的值，继而得出答案．

解：（1）与重合后，折痕为，

，

，

.

，

为等边三角形.

（2）由（1）得，

折叠到，

.

,

.

为的中点且，

为的中位线.

.

，，.

.

（3）连接，过点作于点.

折叠到，

，

，

又，

.

.设，

，

.

在中，，，解得，.