题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，等腰
的底边
在
轴上，已知
，抛物线
(其中
)经过
三点，双曲线
(其中
)经过点
轴，
轴，垂足分别为
且
（1）求出
的值；当为直角三角形时，请求出
的表达式；
（2）当为正三角形时，直线
平分
，求
时的取值范围；
（3）抛物线
（其中）有一时刻恰好经过
点，且此时抛物线与双曲线（其中）有且只有一个公共点（其中
），我们不妨把此时刻的
记作
，请直接写出抛物线
（其中
）与双曲线（其中）有一个公共点时的取值范围．（是已知数）
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】
（1）根据题意得
，
，故可得出k=
；由
变形为
得A，B两点为抛物线与x轴的交点，故点C为直角顶点，求出点C坐标，代入，求出a的值即可；
（2）由
为正三角形可求出点C坐标，从而得出抛物线y2的解析式，再根据直线
平分
求出b和c，得到直线y3解析式，联立y1与y3，y2与y3，求出交点坐标，从而解决问题；
（3）分
、
、
、
，四种情况分别求解即可．
（1）∵点
轴，
轴，
∴，
又双曲线
经过点
∴
；
∵
∴抛物线y1与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）
∴点
在抛物线y1上，
∴点C是直角顶点，AB=3-(-1)=4，
过点C作CD⊥AB于点D，则CD=
AB=2，
∴OD=AD-AO=1，
∴C（1，2）
把C（1，2）代入，求得，
∴
；
∵A(-1,0)，B（3，0）
∴AB=4
过C点作CD⊥AB，垂足为D，
∵△ABC是正三角形，
∴AC=AB=4，AD=AB=2，OD=1
∴
∴C(1,
)
把C(1,) 代入
，解得，
，
∴
∵直线
平分，
∴∠OAE=30°,
∴AE=2OE
∵AO=1，
∴
，解得，
∴c=
把（-1，0）代入
得，b=
∴
联立
与
得
解得，
，
所以当
时，
联立
与得
，
解得，
，
当
时，
所以当时，
①当时，
抛物线与双曲线没有公共点;
②当时，抛物线与双曲线有唯一公共点
③当时，当抛物线右端点
正好落在双曲线上时,
当
时,抛物线与双曲线有两个公共点;
④当时,抛物线和双曲线始终有一个公共点;
所以当时,抛物线和双曲线始终有一个公共点
