Question

【题目】在平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，已知，抛物线(其中)经过三点，双曲线(其中)经过点轴，轴，垂足分别为且

（1）求出的值；当为直角三角形时，请求出的表达式；

（2）当为正三角形时，直线平分，求时的取值范围；

（3）抛物线（其中）有一时刻恰好经过点，且此时抛物线与双曲线（其中）有且只有一个公共点（其中），我们不妨把此时刻的记作，请直接写出抛物线（其中）与双曲线（其中）有一个公共点时的取值范围．（是已知数）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据题意得，，故可得出k=；由变形为得A，B两点为抛物线与x轴的交点，故点C为直角顶点，求出点C坐标，代入，求出a的值即可；

（2）由为正三角形可求出点C坐标，从而得出抛物线y2的解析式，再根据直线平分求出b和c，得到直线y3解析式，联立y1与y3，y2与y3，求出交点坐标，从而解决问题；

（3）分、、、，四种情况分别求解即可．

（1）∵点轴，轴，

∴，

又双曲线经过点

∴；

∵

∴抛物线y1与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）

∴点在抛物线y1上，

∴点C是直角顶点，AB=3-(-1)=4，

过点C作CD⊥AB于点D，则CD=AB=2，

∴OD=AD-AO=1，

∴C（1，2）

把C（1，2）代入，求得，

∴；

∵A(-1,0)，B（3，0）

∴AB=4

过C点作CD⊥AB，垂足为D，

∵△ABC是正三角形，

∴AC=AB=4，AD=AB=2，OD=1

∴

∴C(1,)

把C(1,) 代入，解得，，

∴

∵直线平分，

∴∠OAE=30°,

∴AE=2OE

∵AO=1，

∴，解得，

∴c=

把（-1，0）代入得，b=

∴

联立与得

解得，，

所以当时，

联立与得，

解得，，

当时，

所以当时，

①当时，

抛物线与双曲线没有公共点;

②当时，抛物线与双曲线有唯一公共点

③当时，当抛物线右端点正好落在双曲线上时,

当时,抛物线与双曲线有两个公共点;

④当时,抛物线和双曲线始终有一个公共点;

所以当时,抛物线和双曲线始终有一个公共点