题目内容

已知：如图，抛物线y=ax²+ax+c与y轴交于点C（0，-2），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON=2OM，分别连接MC、MN．当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与线段AC交于点F，点D的坐标为（-1，0）．问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：
（1）由题意，得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ；
∴所求抛物线的解析式为：y=x²+x-2．

（2）设点M的坐标为（m，0），则OM=m，ON=2m，CN=2-2m；
则S_△MNC= $\text{[math]}$ NC•OM
= $\text{[math]}$ （2-2m）•m=-m²+m=-（m- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ；
由x²+x-2=0，得x₁=-2，x₂=1；
∴点B的坐标为（1，0）．
则0＜m＜1，
∴当m= $\text{[math]}$ 时，S_△MNC有最大值 $\text{[math]}$ ，
此时，点M的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），点N的坐标为（0，-1）．

（3）在△ODF中，
①若DO=DF，
∵A（-2，0），D（-1，0），
∴AD=DO=DF=1；
又在Rt△AOC中，OA=OC=2，
∴∠OAC=45°．
∴∠DFA=∠OAC=45°．
∴∠ADF=90°．
此时，点F的坐标为（-1，-1）；
由x²+x-1=-1，得x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ；
此时，点P的坐标为：（ $\text{[math]}$ ，-1）或（ $\text{[math]}$ ，-1）；
②若FO=FD，过点F作FE⊥x轴于点E．
由等腰三角形△AEF中，FE=AE= $\text{[math]}$ ．
∴F（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
此时，点P的坐标为： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
③若OF=OD，∵OA=OC=2，且∠AOC=90°，
∴AC= $\text{[math]}$ ．
∴点O到AC的距离为 $\text{[math]}$ ，而OF=OD=1＜ $\text{[math]}$ ，
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
所求点P的坐标为： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用A、C的坐标，即可由待定系数法求得抛物线的解析式．
（2）首先设出点M的横坐标，即可表示出N点的坐标，进而可求得CN的长，以CN为底，OM为高，可求得△MNC的面积，从而得到关于△NMC和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得△MNC的最大面积及对应的M、N点坐标．
（3）欲求点P的坐标，首先要求出点F的纵坐标，分三种情况：
①OD=DF，已求得A（-2，0），D（-1，0），那么AD=OD=DF=1，即△AFO是等腰直角三角形，且FD是斜边上的高，可据此求得F点的纵坐标为-1，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标；
②OF=FD，过F作x轴的垂线，设垂足为E，根据等腰三角形三线合一的性质可得出E点的坐标，进而可得到AE的长，由于△AFE是等腰直角三角形，那么AE=EF，由此求出点F的纵坐标，将其代入抛物线的解析式中，即可得到点P的坐标；
③OD=OF=1，由于O到直线AP的距离为 $\text{[math]}$ ＞1，因此这种情况不成立．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数最值的应用、等腰三角形的构成条件、等腰三角形的性质等知识，同时考查了分类讨论的数学思想，难度较大．