Question

如图，经过原点的抛物线y=x²-2mx与x轴的另一个交点为A．过点P（m+1，

1

2

）作直线PH⊥y轴于点H，直线AP交y轴于点C．（点C不与点H重合）
（1）当m=2时，求点A的坐标及CO的长．
（2）当m＞1时，问m为何值时CO=

3

2

？
（3）是否存在m，使CO=2.5HC？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点C坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把m=2，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再根据相似三角形的判定和性质，进而求出CO的长；
（2）根据相似三角形的性质得到关于m的比例式，即可求出m的值；
（3）存在，本题要分：当m＞1时；当0＜m＜1时；当-1＜m＜0时；当m＜-1时；四种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点C坐标．

解答：解：（1）当m=2时，y=x²-4x，
令y=0，解得x₁=0，x₂=4，
∴A（4，0）
∵HP∥OA，
∴△CHP∽△COA，
∴

HP

OA

=

CH

CO

∵HP=m+1=3，OA=4，OH=

1

2

•
∴CO=2；

（2）HP=m+1，OA=2m，CO=

3

2

，CH=1•
则

m+1

2m

=

1

1.5

，
解得m=3；

（3）①当m＞1时（如图1），

∵

HP

OA

=

CH

CO

，HP=m+1，OA=2m，CO=2.5HC，
∴

m+1

2m

=

1

2.5

，
∴m=-5（舍去）
②当0＜m＜1时（如图2），

∵CO＜HC，
又∵CO=2.5HC，
∴CH＜0，
∵CH＞0，
∴不存在m的值使CO=2.5HC．
③当-1＜m＜0时（如图3），

∵

HP

OA

=

CH

CO

，HP=m+1，OA=-2m，CO=2.5HC，
∴

m+1

-2m

=

1

2.5

，
∴m=-

5

9

，
∵CO=2.5HC，CO+HC=

1

2

，
∴HC=

1

7

，CO=

5

14

，
∴C(0，

5

14

)；
④当m＜-1时（如图4），

∵

HP

OA

=

CH

CO

，HP=-m-1，OA=-2m，CO=2.5HC，
∴

-m-1

-2m

=

1

2.5

，
∴m=-5，
∵CO=2.5HC，CO-HC=

1

2

，
∴HC=

1

3

，CO=

5

6

，
∴C(0，

5

6

)
综上所述当m=-

5

9

时，点C(0，

5

14

)；当m=-5时，点C(0，

5

6

)．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和相似三角形的性质、需注意的是（3）题在不确C点的情况下需要分类讨论，以免漏解．题目的综合性强，难度也很大，有利于提高学生的综合解题能力，是一道不错的题目．