Question

如图，在一张透明的纸上画了一个∠BAC，且∠BAC=α．

（1）如图2，把纸片∠BAC沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠BAC的内部，点A的对称点为点O，求证：∠CDO+∠OEB=2α．

（2）如图3，把纸片∠BAC沿DE折起（DE为折痕），使顶点A在∠BAC的外部，点A的对称点为点O写出∠CDO、∠OEB与α的等式关系（只写出答案，无需证明）．

（3）如图4，在图2的基础上再以FG为折痕叠纸片，使顶点D、E在∠BAC的内部，且点D、E的对称点分别为点P、Q，求∠CFP+∠PMO+∠ONQ+∠QGB的大小．

（4）如图5，是一个侧“M”形HUKL．已知：∠HIJ+∠JKL=2∠IJK．分别延长HI、LK交于点R，问∠HRL与∠IJK是否相等？如果相等，则请证明；如果不相等，则说明理由（举一反例）．

Answer 1

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）由平角和对折的性质简单计算∠CDO=180°﹣2∠ADE即可；

（2）由平角和对折的性质简单计算∠OEB=∠AED﹣180°即可；

（3）由对折和平角的意义进行简单的计算，

（3）利用几何图形，对折，平角的意义简单的计算．

【解答】解：（1）∵如图2，

∵把三角形纸片ABC的∠A沿DE折起，点A的对称点为点O，

∴∠CDO+∠OEB

=（180°﹣2∠ADE）+（180°﹣2∠AED）

=2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）=2α；

（2）∠CDO﹣∠OEB=2α，

理由如下：如图3，

∠CD0﹣∠OEB

=（180°﹣2∠ADE）﹣（2∠AED﹣180°）

=2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）

=2α；

（3）∠CFP+PMO+∠ONQ+∠QGB=4α，

理由如下：如图4，

∠CFP+∠PMO+∠ONQ+∠QGB

=（∠CFP+∠PMO）+（∠ONQ+QGB）

=2∠FDM+2∠NEG

=2（∠FDM+NEG）

=4∠BAC

=4α；

（4）∠HRL=∠IJK，

理由如下：如图5，

∵∠HIJ+∠JKL

=（∠IRJ+∠IJR）+（∠KRJ+∠KJR）

=（∠IJR+∠KJR）+（∠IRJ+∠KRJ）

=∠IJK+∠IRK

=2∠IJK，

∴∠HRL=∠IJK．

【点评】本题是几何变换题，主要考查了对折的性质，本题的关键是从复杂图形分离出有用的部分，本题易出错的地方是，写错角．