Question

如图，抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-4）和（-2，5），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；
（2）若与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C．在该抛物线上找一点D，使得△ABC与△ABD全等，求出D点的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意，得，
解得，，
所以，该抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）∵抛物线y=x²-2x-3的对称轴为：x=-=1，
∴根据轴对称的性质，点C关于x=1的对称点D即为所求，
此时，AC=BD，BC=AD，
在△ABC和△BAD中，
∵，
∴△ABC≌△BAD（SSS）．
在y=x²-2x-3中，令x=0，得y=-3，
则C（0，-3），
∴D（2，-3）．
分析：（1）把点（1，-4）和（-2，5）分别代入该二次函数解析式，列出关于b、c的方程组，通过解该方程组即可求得它们的值；
（2）首先由抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-，即可求得此抛物线的对称轴，根据轴对称的性质，点C关于x=1的对称点D即为所求，利用SSS即可判定△ABC≌△BAD，又由抛物线的与y轴交于点C，即可求得点C的坐标，由对称性可求得D点的坐标．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、全等三角形的判定与二次函数的对称性．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．