Question

已知：如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点(端点除外)，延长BP至D，使BD=AP，连接CD。

(1)若AP过圆心O，如图(1)，请你判断△PDC是什么三角形，并说明理由。

(2)若AP不过圆心O，如图(2)，△PDC又是什么三角形?为什么?

Answer 1

解：(1)△PDC为等边三解形   

理由：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC

在⊙O中，∠PAC=∠DBC，又∵AP=BD，∴△APC≌△BDC  

∴PC=DC   又∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°，

∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°

∴∠BAP=∠BCP=30°，∠PBC=∠PAC=30°

∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°  

∴△PDC为等边三角形     

(2)△PDC仍为等边三角形  

理由：先证△APC≌△BDC （过程同上)。

∴PC=DC      

∴∠BAP+∠PAC=60°，

又∵∠BAP=∠BCP，∠PAC=∠PBC，  

∴∠CPD=∠BCP+∠PBC=∠BAP+∠PAC=60°  

又∵PC=DC，∴△PDC为等边三角形。