Question

如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点．∠ABC、∠ACD的平分线相交于P₁．

（1）若∠ABC=80°，∠ACB=40°，则∠P₁的度数为

30°

；
（2）若∠A=α，则∠P₁的度数为

1

2

α

；（用含α的代数式表示）
（3）如图（乙），∠A=α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P₁，∠P₁BC、∠P₁CD的平分线相交于P₂，∠P₂BC、∠P₂CD的平分线相交于P₃依此类推，则∠Pn的度数为

（

1

2

）nα

（用n与α的代数式表示）

Answer 1

分析：由∠P₁CD=∠P₁+∠P₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而P₁B、P₁C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠P₁CD，∠ABC=2∠P₁BC，于是有∠A=2∠P₁，同理可得∠P₁=2∠P₂，即∠A=2²∠P₂，因此找出规律．

解答：解：∵P₁B、P₁C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠P₁CD，∠ABC=2∠P₁BC，
而∠P₁CD=∠P₁+∠P₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠P₁，
∴∠P₁=

1

2

∠A，
（1）∵∠ABC=80°，∠ACB=40°，
∴∠A=60°，
∴∠P₁=30°；
（2）∵∠A=α，
∴∠P₁的度数为

1

2

α；
（3）同理可得∠P₁=2∠P₂，
即∠A=2²∠P₂，
∴∠A=2ⁿ∠P_n，
∴∠Pn=（

1

2

）nα．
故答案为：30°，

1

2

α，（

1

2

）nα．

点评：本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．