Question

如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．
（1）请写出三条与BC有关的正确结论；
（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据垂径定理和圆周角定理及其推论进行分析，得到结论；
（2）连接OC，阴影部分的面积即是扇形OAC的面积减去三角形AOC的面积．根据圆周角定理发现30°的直角三角形ABC，从而得到扇形所在的圆心角的度数以及半径的长，再根据扇形的面积公式和三角形的面积公式计算．
解答：解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：
①BC=BD；②OF∥BC；③∠BCD=∠A；④△BCE∽△OAF；⑤BC²=BE•AB；
⑥BC²=CE²+BE²；⑦△ABC是直角三角形；⑧△BCD是等腰三角形．

（2）连接OC，则OC=OA=OB，
∵∠D=30°，=，
∴∠A=∠D=30°，
∴∠COB=2∠A=60°
∴∠AOC=120度，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=1，
∴AB=2，AC=，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵OA=OB，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF=BC=，
∴S_△AOC=AC•OF=××=，
S_扇形AOC=π×OA²=，
∴S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC=．
点评：要熟练运用垂径定理、圆周角定理及其推论、等弧对等弦以及30°的直角三角形的性质．