Question

如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．
（1）求证：EF=BE+DF；
（2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，
试探究EF、BE、DF之间的数量关系．

Answer 1

（1）证明：延长CB至M，使BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，
∴∠D=∠ABM，
在△ABM和△ADF中，

∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD=2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，
即EF=BE+DF．

（2）解：发生变化，EF、BE、DF之间的关系是EF=BE-DF，
理由是：在CB上截取BM=DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D=180°，∠ADC+∠ADF=180°，
∴∠ABC=∠ADF，
在△ABM和△ADF中，

∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，
∵∠BAD+DAF=∠BAM+∠MAD=2∠EAF，
∴∠EAM=∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF=EM=BE-BM=BE-DF，
即EF=BE-DF．
分析：（1）延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；
（2）在CB上截取BM=DF，连接AM，证△ABM≌△ADF，推出AF=AM，∠DAF=∠BAM，求出∠EAM=∠EAF，证△FAE≌△MAE，推出EF=EM即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作辅助线，证明过程类似．