Question

已知：在△AOB中，AB=，OB=6，∠B=45°，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系  

（1）写出点A的坐标：；

（2）C为线段OB上的动点，D为线段AB上的动点，且始终有CD∥OA，若C由O向B运动的距离OC=x，△ACD的面积为y

①求y与x之间的函数关系式；

②是否存在这样的点D，使△AOC的面积等于△ACD的面积的2倍？若存在，请求出点D的坐标，否则请说明理由．

Answer 1

       解：（1）过点A作AG⊥x轴于点G，则∠AGB=90°．

在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=4，∠B=45°，

∴AG=BG=4×=4，

∴OG=OB﹣BG=6﹣4=2，

∴点A的坐标为（2，4）．

故答案为（2，4）；

（2）①过点D作DH⊥x轴于点H．

∵CD∥OA，

∴△BCD∽△BOA，

∴=，即=，

∴DH=（6﹣x）．

∵S_△ACD=S_△ABC﹣S_△BCD=BC•AG﹣BC•DH，

∴y=（6﹣x）×4﹣（6﹣x）•（6﹣x）=﹣x²+2x，

即y与x之间的函数关系式为y=﹣x²+2x；

②存在这样的点D，能够使△AOC的面积等于△ACD的面积的2倍．

∵S_△AOC=OC•AG=x×4=2x，

∴2x=2（﹣x²+2x），

整理，得x²﹣x=0，

解得x₁=3，x₂=0（不合题意舍去），

∴x=3．

当x=3时，BH=DH=（6﹣x）=×（6﹣3）=2，

∴OH=OB﹣BH=6﹣2=4，

∴点D的坐标为（4，2）．

点