Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，、、分别是菱形ABCD的两条对角线长和边长，这时我们把关于的形如“”的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”．请解决下列问题：

（1）填空：①当，时， ．

②用含，的代数式表示值， ．

（2）求证：关于的“菱系一元二次方程”必有实数根；

（3）若是“菱系一元二次方程”的一个根，且菱形的面积是25，BE是菱形ABCD的AD边上的高，求BE的值．

Answer 1

【答案】（1）①5，②；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）结合图形，根据菱形的对角线互相平分以及勾股定理即可得到结论；

（2）算出△，结合（1）中②的结论即可解决问题；

（3）根据方程根的定义得出m、n、t的关系，结合（1）中②的结论进行化简，再根据菱形面积是25，即可得出t的值，进而得出结论．

（1）①当m=6，n=8时，AO=4，OB=3，∴t=AB==5．

②∵AO=，OB=，∴t2=AB2=．

故答案为：5，．

（2）

这里，a=m，b=t，c=n，∴．

∵，∴，∴关于的“菱系一元二次方程”必有实数根．

（3）∵是“菱系一元二次方程”的一个根，∴，∴，∴．

∵，∴．

∵菱形面积是25，∴，∴，解得：，即，∴．