Question

已知直线y=-

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x+m（m＞0）与x轴、y轴分别将于交于点C和点E，过E点的抛物线y=ax²+bx+c的顶点为D，
（1）如果△CDE恰为等边三角形．求b的值；
（2）设抛物线交y=ax²+bx+c与x 轴的两个交点分别为A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），问是否存在这样的实数m，使∠AEC=90°？如果存在，求出此时m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线解析式求出C、E两点坐标，再求出顶点D坐标，根据△CDE恰为等边三角形的条件便可求出b的值；
（2）先求出A点坐标，将A点坐标代入抛物线的解析式，求出m值，然后检验便可知道不存在m使得∠AEC=90°．

解答：解：（1）直线y=-

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x+m（m＞0）与x轴、y轴分别将于交于点C和点E，
当y=0时，x=

3

m，当x=0时，y=m，
∴C（

3

m，0）E（0，m）
∴CE=

OC2+OE2

=2m．
由题意抛物线y=ax²+bx+c过E点可得：m=c，
抛物线y=ax²+bx+c的顶点为D（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
由△CDE恰为等边三角形可知D点坐标为（

3

m，2m），
∴

3 m=- b 2a 2m= 4ac-b2 4a

解得a=-

1

3m

，b=

2 3

3

；
（2）抛物线的解析式为y=-

1

3m

x²+

2 3

3

x+m，
A（x₁，0）为抛物线交于x 轴的交点，且使∠AEC=90°，
故A点坐标为A（-

3

3

m，0），
将A点坐标代入抛物线解析式为y=-

1

3m

x²+

2 3

3

x+m，
可得0=-

1

3m

（-

3

3

m）²+

2 3

3

（-

3

3

m）+m，
解得m=0，不符合题意，
故不存在m使得∠AEC=90°．

点评：本题是二次函数的综合题，解题时要注意数形结合数学思想的运用，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题．