Question

如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB 边上的一点，以BD为直径的⊙O与边 AC 相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点 F .

【小题1】求证： DE＝FE
【小题2】若 BC＝3，AD＝2，求 BF 的长．

Answer 1

【小题1】证明：连接OE，BE

则OE⊥AC，BE⊥DF
所以∠AEO＝90°.----------------2分
又因为∠ACB＝90°，
所以OE//BC．
又DO=OB，
所以OE是△ABC的中位线，
所以DE=EF．----------------4分
【小题2】解：Rt△ABC和Rt△AOE中，∠A是公共角，
∴Rt△ABC ∽Rt△AOE，----------------6分
∴＝.
设⊙O的半径是r，则有，
解得r＝2，∴BD＝4. ----------------8分
由（1）得∠BDF=∠OED=∠BFD，∴BF＝BD＝4----------------10分解析:
（1）连接OE，易证OE∥BC，根据等O是BC中点，则E是DF的中点即可求解；
（2）易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即可求解．