Question

已知：如图，△ABC中，点E在中线BD上，∠DAE=∠ABD．
求证：（1）AD²=DE•DB；
　　　（2）∠DEC=∠ACB．

Answer 1

证明：（1）∵∠DAE=∠ABD，∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA．
∴，
即AD²=DE•DB．

（2）∵D是AC边上的中点，
∴AD=DC．
∵，
∴，
又∵∠CDE=∠BDC．
∴△CDE∽△BDC．
∴∠DEC=∠ACB．
分析：（1）由∠DAE=∠ABD，∠ADE=∠BDA，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ADE∽△BDA，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得AD²=DE•DB；
（2）由点E在中线BD上，可得，又由∠CDE=∠BDC，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得△CDE∽△BDC，继而证得∠DEC=∠ACB．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．