Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求证：ED为⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径为

3

2

，ED=2，延长EO交⊙O于F，连接DF、AF，求△ADF的面积．

Answer 1

分析：（1）首先连接OD，由OE∥AB，根据平行线与等腰三角形的性质，易证得△COE≌△DOE，即可得∠ODE=∠OCE=90°，则可证得ED为⊙O的切线；
（2）连接CD，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠CDA=90°，利用勾股定理即可求得OE的长，又由OE∥AB，证得△COE∽△CAB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，然后利用三角函数的知识，求得CD与AD的长，然后利用S_△ADF=S_梯形ABEF-S_梯形DBEF求得答案．

解答：解：（1）证明：连接OD，
∵OE∥AB，
∴∠COE=∠CAD，∠EOD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠COE=∠DOE，
在△COE和△DOE中，

CO=OD ∠COE=∠ OE=OE

DOE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠OCE=90°，
∴ED⊥OD，
∴ED是圆O的切线；

（2）连接CD，交OE于M，
在Rt△ODE中，
∵OD=

3

2

，DE=2，
∴OE=

OD2+DE2

=

( 3 2 )2+22

=

5

2

，
∵OE∥AB，
∴△COE∽△CAB，
∴

OC

AC

=

OE

AB

，
∴AB=5，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴cos∠BAC=

AC

AB

=

AD

AC

=

3

5

，
∴AD=

9

5

，
∴CD=

AC2-AD2

=

12

5

，
∵EF∥AB，
∴

CM

DM

=

OC

OA

，
∴CM=DM=

1

2

CD=

6

5

，
∴EF=OE+OF=4，BD=AB-AD=5-

9

5

=

16

5

，
∴S_△ADF=S_梯形ABEF-S_梯形DBEF=

1

2

（AB+EF）•DM-

1

2

（BD+EF）•DM=

1

2

×（5+4）×

6

5

-

1

2

×（

16

5

+4）×

6

5

=

27

25

．
∴△ADF的面积为

27

25

．

点评：此题考查了圆的切线的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．