Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）由平行线的性质、等腰三角形的性质推知∠OED=∠F，则易证得结论.
（2）由cosB＝，设BC=3x，AB=5x，根据OE∥BF，得∠AOE＝∠B，从而．因此列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值，进而得到⊙O的半径.
（1）如图，连接OE,
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC，即∠OEC＝90⁰.
∵∠ACB＝90⁰，∴∠OEC＝∠ACB．∴OE∥BC.
∴∠OED＝∠F.
∵OE=OD，∴∠OED＝∠ODE．∴∠F＝∠ODE.
∴BD=BF.

（2）∵cosB＝，∴设BC=3x，AB=5x.
∵CF=1，∴.
由（1）知，BD=BF，∴．∴.
∴,.
∵OE∥BF，∴∠AOE＝∠B。∴，即，解得，.
∴⊙O的半径为.