Question

如图，在Rt△ABC中，已知：∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，以斜边AB的中点P为旋转中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为

 

cm²．

Answer 1

分析：根据已知及勾股定理求得DP的长，再根据全等三角形的判定得到△B′PH≌△BPD，从而根据直角三角形的性质求得GH，BG的长，从而不难求得旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积．

解答：解：在直角△DPB中，BP=AP=AC=3，
∵∠A=60°，
∴DP²+BP²=BD²，
∴x²+3²=（2x）²，
∴DP=x=

3

，
∵B′P=BP，∠B=∠B′，∠B′PH=∠BPD=90°，
∴△B′PH≌△BPD，
∴PH=PD=

3

，
∵在直角△BGH中，BH=3+

3

，
∴GH=

3+ 3

2

，BG=

3

2

(3+

3

)，
∴S_△BGH=

1

2

×

3+ 3

2

×

3

2

(3+

3

)=

6 3 +9

4

，S_△BDP=

1

2

×3×

3

=

3 3

2

，
∴S_DGHP=

6 3 +9

4

-

3 3

2

=

9

4

cm²．

点评：此题考查勾股定理，三角形的全等的判定及性质，旋转的性质等知识的综合运用．