Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．现有一点D，使得∠CDB=∠CAB，DB=CB．
（1）请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，可简要说明作法）；
（2）连接CD，与AB交于点E，求∠BEC的度数；
（3）以A为圆心AB长为半径作⊙A，点O在直线BC上运动，且以O为圆心r为半径的⊙O与⊙A相切2次以上，请直接写出r应满足的条件．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于∠CDB=∠CAB，点A与点D都在以BC为弦的同一圆上，则先作出Rt△ABC的外接圆⊙O，然后以B为圆心，BC为半径画弧交⊙O于点D，则点D为所求；
（2）由DB=CB得∠DCB=∠CDB，而∠CDB=∠CAB，所以∠DCB=∠CAB，再利用∠CAB+∠CBA=90°得到∠DCB+∠CBA=90°，于是得到∠BEC=90°；
（3）如图，过C点的直径为PQ，CP=2，CQ=8，当r=2时，⊙O与⊙A外切2次，内切1次；当0＜r＜2时，⊙O与⊙A外切2次，内切2次；当r=8时，⊙O与⊙A外切2次，内切2次；
当r＞8时，⊙O与⊙A相切4次．
解答：解：（1），作AB的垂直平分线，垂足为点O，以O点为圆心，OA为半径作⊙O，然后以B为圆心，BC为半径画弧交⊙O于点D，如图，

即点D为所求
（2）∵DB=CB，
∴∠DCB=∠CDB，
又∵∠CDB=∠CAB，
∴∠DCB=∠CAB．
∵∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠DCB+∠CBA=90°．
即∠BEC=90°；
（3）当0＜r＜2时，⊙O与⊙A相切4次；
当r=2时，⊙O与⊙A相切3次；
当r=8时，⊙O与⊙A相切3次；
当r＞8时，⊙O与⊙A相切4次．
点评：本题考查了圆的综合题：垂径定理和圆周角定理是解决有关圆的问题常用的定理；记住两圆的位置关系的判断方法．