Question

已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=DC，∠FCD=∠BAD，点F在AD上，BF的延长线交AC于点E．
（1）求证：△ABD≌△CFD．
（2）求证：BE⊥AC；
（3）设CE的长为m，用含m的代数式表示AC+BF．

Answer 1

分析：（1）由AD⊥BC于点D，AD=DC，∠FCD=∠BAD，根据ASA，即可判定：△ABD≌△CFD；
（2）由△ABD≌△CFD，可得BD=DF，继而可得△BDF与△ACD是等腰直角三角形，则可求得∠AEF=90°，证得BE⊥AC；
（3）易得AC+BF=CE+AE+BF=CE+EF+BF=CE+BE=CE+CE=2m．

解答：（1）证明：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△CFD中，

∠BAD=∠FCD AD=CD ∠ADB=∠CDF

，
∴△ABD≌△CFD（ASA），

（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∴∠FBD=∠BFD=45°，
∴∠AFE=∠BFD=45°，
又∵AD=DC，
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∴∠AEF=90°，
∴BE⊥AC．

（3）解：∵∠EBC=∠ACD=45°，CE=m，
∴BE=CE=m，
又∵∠AFE=∠FAE=45°，
∴AE=FE，
∴AC+BF=CE+AE+BF=CE+EF+BF=CE+BE=CE+CE=2m．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．