题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=12，AD=8，求BF的长．
分析：（1）连接OE，易证OE∥BC，根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F，则根据等角对等边即可求解；
（2）易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即可求解．
（2）易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即可求解．
解答：
（1）证明：连接OE，
∵AC是圆的切线，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∵O是BD的中点，
∴OE是△BFD的中位线，
∵OE∥BF，
∴∠DEO=∠EFB，
又∵∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠BFD，
∴BD=BF；
（2）设⊙O的半径为R，则BD=2R，OD=OE=R
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴
=
，即
=
，
解得：R1=8，R2=-6（舍去）
∴BF=BD=2R=16．
（1）证明：连接OE，∵AC是圆的切线，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∵O是BD的中点，
∴OE是△BFD的中位线，
∵OE∥BF，
∴∠DEO=∠EFB，
又∵∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠BFD，
∴BD=BF；
（2）设⊙O的半径为R，则BD=2R，OD=OE=R
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴
| OE |
| BC |
| AO |
| AB |
| R |
| 12 |
| R+8 |
| 2R+8 |
解得：R1=8，R2=-6（舍去）
∴BF=BD=2R=16．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确利用△AOE∽△ABC求得圆的半径是关键．
练习册系列答案
相关题目
（2013•莆田质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，AD和BD分别是∠BAC和∠ABC的平分线，它们相交于点D，求点D到BC的距离．
边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC、BC相交于点E、F，且使DE始终与AB垂直．
如图，在Rt△ABC中，BD⊥AC，sinA=
点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t（s）．