Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点的左边）交轴正半轴于点，点为抛物线顶点.

（1）直接写出三点的坐标及的值；

（2）点为抛物线在轴上方的一点，且，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，为的外心，点，点分别从点同时出发以2单位/，1单位/速度沿射线，作匀速运动，运动时间为秒（且），直线交于.

①求证：点在定直线上并求的解析式；

②若在抛物线上且在直线下方，当到直线距离最大时，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①，见解析，②

【解析】

（1）将y=0，x=0代入即可写出三点的坐标及的值；

（2）先求的解析式为，联立解得：（舍去），，可得.

（3）①设，则，可解得：，，设，则，当时，可得当时，同理可求，故在直线上.

②当到距离最大时，设过且与平行的直线的解析式为： 联立利用该方程组有两个相等的实数根，可得方程有两个相等的实数根，求得，故，可得点的坐标.

（1）∵抛物线，点为抛物线顶点.

∴

解得

∴

当y=0时，

解得

∴

当x=0时，

解得

∴

∴

（2）∵

∴

设的解析式为

又因为A（1，0）.代入解得：b=-1

故的解析式为，

∴

解得：（舍去），，

∴.

（3）①设，，

解得：，，

设，，

当时，

当时，同理可求，故在直线上.

②当到距离最大时，设过且与平行的直线的解析式为：

有两等根

有等根，