Question

在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．

（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；

（2）如图2，连接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面积为4，求△CBC₁的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。

解答：解：（1）由旋转的性质可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，

∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°，..…（2分）

∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°．…（3分）

（2）∵△ABC≌△A₁BC₁，

∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，

∴，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，

∴∠ABA₁=∠CBC₁，

∴△ABA₁∽△CBC₁．…（5分）

∴，

∵S_△ABA1=4，

∴S_△CBC1=；…（7分）

（3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形，

∴点D在线段AC上，

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，…（8分）

①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值为：EP₁=BP₁﹣BE=BD﹣BE=﹣2；…（9分）

②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，最大值为：EP₁=BC+AE=2+5=7．…（10分）