题目内容
【题目】如图，在矩形
中，
，
，点
从点
出发向点
运动，运动到点停止，同时，点
从点
出发向点
运动，运动到点即停止，点、的速度都是每秒1个单位，连接
、
、
．设点、运动的时间为
秒
（1）当为何值时，四边形
是矩形；
（2）当
时，判断四边形
的形状，并说明理由；
（3）直接写出以为对角线的正方形面积为96时的值；
（4）求整个运动当中，线段扫过的面积是多少？
【答案】（1）当
时，四边形
为矩形；（2）当
时，四边形
为菱形，理由见解析；（3）
或
；（4）64
【解析】
（1）由矩形性质得出BC=AD=16，AB=CD=8，由已知可得，BQ=DP=t，AP=CQ=16-t，当BQ=AP时，四边形ABQP为矩形，得出方程，解方程即可；
（2）t=6时，AQ=6，DP=6，得出CQ=16-6=10，AP=16-6=10，AP=CQ，AP∥CQ，四边形AQCP为平行四边形，在Rt△ABQ中，与勾股定理求出AQ=
=10，得出AQ=CQ，即可得出结论；
（3）分两种情况：求出正方形的边长为
，则对角线PQ为
，由勾股定理求出QM的长，由题意得出方程，解方程即可；
（4）连接AC、BD，AC、BC相交于点E，线段PQ扫过的面积=△AED的面积+△BEC的面积，即可得出结果．
解：（1）∵在矩形
中，
，
，
∴
，
，
由已知可得，
，
，
在矩形中，
，
，
当
时，四边形为矩形，
∴
，解得：
，
∴当时，四边形为矩形；
（2）四边形为菱形；理由如下：
∵，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴四边形为平行四边形，
在Rt△ABQ中，
，
∴
，
∴平行四边形为菱形，
∴当时，四边形为菱形；
（3）∵正方形面积为96，
∴正方形的边长为：，
∴
；
分两种情况：
①如图1所示：作
于
，
则
，
，
，
由勾股定理得：
，
∵
，
∴
，解得：
；
②如图2所示：，，
∵
，
∴
，解得：
；
综上所述，以
为对角线的正方形面积为96时
的值为：或；
（4）连接
、
，、
相交于点
，
则整个运动当中，线段扫过的面积是：
的面积
的面积，如图3所示：
∵△AED的面积△BEC的面积
矩形的面积，
∴整个运动当中，线段扫过的面积矩形的面积
．
