题目内容

已知二次函数y=ax²+bx+c（a＜0）的函数图象与y轴交于点C（0，8），与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点（x₁＜x₂），且4a+2b+c=0，S_△ABC=32．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围并求面积S的最大值．

解：（1）由已知得：c=8，
又∵4a+2b+c=0，
∴抛物线经过（2，0），
∴点B的坐标为（2，0），
∵S_△ABC=32．
∴ $\text{[math]}$ ×8×AB=32
解得：AB=8
∴A（-6，0），
将点A（-6，0）B（2，0）代入y=ax²+bx+c得： $\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$
故二次函数的解析式为y=- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+8．
（2）依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴EF= $\text{[math]}$
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴FG= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =8-m
∴S=S_△BCE-S_△BFE= $\text{[math]}$ （8-m）×8- $\text{[math]}$ （8-m）（8-m）
= $\text{[math]}$ （8-m）（8-8+m）
= $\text{[math]}$ （8-m）m
=- $\text{[math]}$ m²+4m
=- $\text{[math]}$ （m-4）²+8
自变量m的取值范围是0＜m＜8
∴当m=4时，S_最大值=8．
分析：（1）首先求得A、B两点的坐标，代入二次函数的解析式用待定系数法求解即可．
（2）易得S_△EFC=S_△BCE-S_△BFE，只需利用平行得到三角形相似，求得EF长，进而利用相等角的正弦值求得△BEF中BE边上的高；
点评：本题综合考查用待定系数法求二次函数解析式；以及求二次函数的最值等知识点．难度较大，往往是中考题的压轴题．