Question

已知二次函数的图象如图。
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由。

Answer 1

解：（1）由得， ∴D（3，0）；
（2）如图1， 设平移后的抛物线的解析式为； 则C（0，k），OC=k， 令y=0，即， 得，  ∴A，B ∴ ∵ 即： 得，（舍去）  ∴抛物线的解析式为；
（3）如图2， 由抛物线的解析式， 可得 A（-2 ，0），B（8，0） ，C（4，0） ，M  过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H，则 ∴   在Rt△COD中，CD==AD ∴点C在⊙D上 ∵  ∴ ∴△CDM是直角三角形， ∴CD⊥CM ∴直线CM与⊙D相切。