Question

在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

Answer 1

（1）
（2）
①y=（＜x≤5）
②当时，y的最大值为
（3）x=解析:
解：（1）∵AC=3，BC=4
∴AB=5
∵AC·BC=AB·CD，
∴CD=，AD=
（2）①当0＜x≤时
∵EF∥CD
∴△AEF∽△ADC
∴
即EF=x
∴y=·x·x=
当＜x≤5时，易得△BEF∽△BDC，同理可求EF=（5—x）
∴y=·x·（5—x）=≤
②当0＜x≤时，y随x的增大而增大.
y=≤,即当x=时，y最大值为
当＜x≤5时，
∵
∴当时，y的最大值为
∵＜
∴当时，y的最大值为
（3）假设存在
当0＜x≤5时，AF=6—x
∴0＜6—x＜3
∴3＜x＜6
∴3＜x≤5
作FG⊥AB与点G
由△AFG∽△ACD可得
∴，即FG=
∴x·=
∴=3，即2x2-12x+5=0
解之得x1=，x2=
∵3＜x1≤5
∴x1=符合题意
∵x2=＜3
∴x2不合题意，应舍去
∴存在这样的直线EF，此时，x=