Question

（2012•荆州）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）

Answer 1

分析：连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB，先根据垂径定理求出AF的值，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB的度数，由勾股定理求出OF的长，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由S_阴=S_梯形ABCD-（S_扇OAB-S_△OAB）即可得出结论．

解答：解：如图，连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB．
∵OA=OB=5m，AB=8m，OM是半径，OM⊥AB，
∴AF=BF=

1

2

AB=4（m），∠AOB=2∠AOF，
在Rt△AOF中，sin∠AOF=

AF

AO

=0.8=sin53°，
∴∠AOF=53°，则∠AOB=106°，
∵OF=

OA2-AF2

=3（m），由题意得：MN=1m，
∴FN=OM-OF+MN=3（m），
∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，
∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE．
在Rt△ADE中，tan56°=

AE

DE

=

3

2

，
∴DE=2m，DC=12m．
∴S_阴=S_梯形ABCD-（S_扇OAB-S_△OAB）=

1

2

（8+12）×3-（

106

360

π×5²-

1

2

×8×3）≈20（m²）．
答：U型槽的横截面积约为20m²．

点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理进行求解是解答此题的关键．