Question

【题目】已知：如图，抛物线的顶点为A（0，2），与x轴交于B（﹣2，0）、C（2，0）两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设点P是抛物线y上的一个动点，连接PO并延长至点Q，使OQ＝2OP．若点Q正好落在该抛物线上，求点P的坐标；

（3）设点P是抛物线y上的一个动点，连接PO并延长至点Q，使OQ＝mOP（m为常数）；

①证明点Q一定落在抛物线上；

②设有一个边长为m+1的正方形（其中m＞3），它的一组对边垂直于x轴，另一组对边垂直于y轴，并且该正方形四个顶点正好落在抛物线和组成的封闭图形上，求线段PQ被该正方形的两条边截得线段长最大时点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2）（，1）（-，1）（3）①见解析②当点Q与正方形右下或左下顶点重合时，PQ被正方形上下两边所截线段最长，此时点Q的坐标为（2+，-5-4）或（-2-，-5-4）．

【解析】

（1）用两点式求出抛物线解析式；

（2）设点P坐标，作PE⊥x轴，FQ⊥x轴，利用相似关系求出点Q坐标，因为点Q在抛物线上，所以将点Q坐标代入解析式，求得点P坐标；

（3）①同（2）的方法，求出点Q坐标代入y2解析式，可证明点Q在抛物线y2上；

②因为y1与y2抛物线都是以y轴为对称轴的抛物线，所以正方形也是以y轴对称，从而获得正方形右侧点的横坐标，代入各自解析式获得纵坐标，以右侧两点的纵坐标做差等于正方形边长，列出方程求出m的值，从而获得正方形四个顶点的坐标，由图可知，当Q点与正方形的左下和右下端点重合时PQ被正方形所截的线段最大，从而获得点Q坐标．

解：（1）由条件可设抛物线y1＝ax2+2，将C（2，0）代入

可得抛物线；

（2）如图，作PE⊥x轴，FQ⊥x轴

设点P（t，），

利用△PEO∽△OFQ可求得点Q（﹣2t，t2﹣4）．

把Q（﹣2t，t2﹣4）代入中，

得：t2﹣4＝，

∴3t2＝6，

∴t=±，

∴P1（，1），P2（，1）；

（3）①证明：设点P（t，），

利用相似可求得点Q（﹣mt，）．

将x＝﹣mt代入中，

得：．

∴点Q一定落在抛物线上；

②如图所示

∵正方形的边长为m+1，

由抛物线的对称性可知

正方形右边两个顶点横坐标为，

将x＝代入抛物线解析式

可得两点纵坐标分别为：和，

∴-＝m+1，

解得：．

∵m＞3，

∴.

∴正方形右边两个顶点横坐标为，

将x＝代入得：

，

∴正方形右下顶点的纵坐标为．

∴正方形右下顶点的坐标为（），

同理，正方形左下顶点的坐标为（，）．

设PQ与y轴所成的角为α，当PQ与正方形上下两边相交时，

PQ被正方形上下两边所截线段的长，

当α增大时，cosα减小，增大，

当PQ经过正方形右下顶点时，α最大，PQ被正方形上下两边所截线段最大，此时点Q与正方形右下或左下顶点重合；

当PQ与正方形上右两边（或上左两边）相交时，由图形可知随着α的增大，PQ被正方形上下两边所截线段的长减小，

综上所述，当点Q与正方形右下或左下顶点重合时，PQ被正方形上下两边所截线段最长，

此时点Q的坐标为（）或（，）．