题目内容

已知：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，点E为BD延长线上一点，且 $数学公式$
（1）求证：AE=AD；
（2）若点F为线段BD上一点，CF=CD，BF=2，BE=6，△BFC的面积为3，求△ABD的面积．

解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，即∠ABE=∠CBD．
又∵ $\text{[math]}$ ，
∴△ABE∽△CBD，
∴∠AEB=∠CDB，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠ADE=∠AED，

∴AE=AD；

（2）∵CD=CF，AE=AD，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
又∵在△ABC中，BD平分∠ABC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵∠ABD=∠CBF（BD是∠ABC的平分线），
∴△ABD∽△CBF
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则BD²=BF•BE=2×6=12，
即BD=2 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）²=3，
∴S_△ABD=3S_△CBF=3×3=9．
即△ABD的面积是9．
分析：（1）先把乘积式转化为比例式，再根据BD平分∠ABC得∠ABD=∠CBD，然后证明△ABE与△CBD相似，根据相似三角形对应角相等可得∠AEB=∠CDB，然后得到
∠ADE=∠AED，再利用等角对等边的性质即可证明；
（2）根据已知条件“CD=CF，AE=AD”和“∠ABC平分线的定理和定义”证得△ABD∽△CBF，则由该相似三角形的对应边成比例、等量代换求得BD²=BF•BE=2×6=12，即BD=2 $\text{[math]}$ ，由此可以推知该相似三角形的相似比 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方来求△ABD的面积．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．解答（2）题时，注意等量代换的巧用和角平分线定理的运用．