Question

如图，已知一次函数y₁=kx+b图象与x轴相交于点A，与反比例函数的图象相交于B（-1，5）、C（，d）两点．点P（m，n）是一次函数y₁=kx+b的图象上的动点．
（1）求k、b的值；
（2）设-1＜m＜，过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设m=1-a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）B、C两点在反比例函数图象上，根据反比例函数图象上点的横纵坐标的积相等，可求d的值，将B、C两点坐标代入y₁=kx+b中，列方程组可求k、b的值；
（2）存在，根据直线解析式可求A点坐标，点P在直线上，点P（，n），PD∥x轴，则D、P的纵坐标都是n，此时，D（-，n），则PD=+，由S=•n•PD，可求△PAD的面积表达式，利用二次函数的性质求最大值；
（3）点P（m，n）在一次函数图象上，由一次函数解析式可知，设m=1-a，则P（1-a，2a+1），依题意m≠n，可知a≠0，根据a＞0和a＜0两种情况，分别求实数a的取值范围．
解答：解：（1）将B点的坐标代入y₂=，得c=-5，
则y₂=-，
把x=代入得y=-2，
则C（，-2）
将B、C代入直线y₁=kx+b得：；

（2）存在．
令y₁=0，x=，则A的坐标是：（，0）；
由题意，点P在线段AB上运动（不含A，B），
设点P（，n），
∵DP平行于x轴，
∴D、P的纵坐标都是n，
∴D的坐标是：（-，n），
∴S=•n•PD=（+）×n=-（n-）²+；
而-2m+3=n，得0＜n＜5；
所以由S关于n的函数解析式，所对应的抛物线开口方向决定，当n=，即P（，），S的最大值是：．

（3）由已知P（1-a，2a+1），易知，m≠n，1-a≠2a+1，a≠0；
若a＞0，m＜1＜n，由题设m≥0，n≤2，
则，
解不等式组的解集是：0＜a≤；
若a＜0，n＜1＜m，由题设n≥0，m≤2，
则，
解得：-≤a＜0；
综上：a的取值范围是：-≤a＜0，0＜a≤．
点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是根据反比例函数图象上点的横纵坐标积相等求C点坐标，由“两点法”求直线解析式，根据平行于x轴直线上点的坐标特点，表示三角形的面积，根据二次函数的性质求最大值，本题还考查了分类讨论的思想．