Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，垂足为A，以腰BC为直径的半圆O切AD于点E，连接BE，若BC=6，∠EBC=30°，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：连接EC，EO．根据梯形的面积等于梯形的中位线长乘以高，显然中位线即是半圆的半径，即为3．故只需求得该梯形的高．根据梯形的中位线，只需求得DE的长，首先根据30度的直角三角形BCE求得CE的长，再根据弦切角定理求得∠CED=30°，进一步根据锐角三角函数求得DE的长，再根据梯形的面积公式进行计算．

解答：解：如图
连接EC，∵BC为半圆O的直径，
∴BE⊥EC（1分）
∵∠EBC=30°，
∴EC=

1

2

BC=

1

2

×6=3；
连接OE，
∴OE=OB=3∠BEO=30°
∵AD与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AD
∴∠OEC=60°，
∴∠DEC=30°，
∴DC=

1

2

EC=

3

2

，
∴DE=

EC2-DC2

=

3 3

2

；（3分）
∵OE∥DC∥AB，OC=OB，
∴OE是梯形的中位线，
∴AE=DE=

3 3

2

，（5分）
∴AD=2DE=3

3

；
∵AD⊥AB，
∴DA为梯形ABCD的高
∴S_梯形ABCD=OE•AD=3×3

3

=9

3

．（7分）

点评：综合运用了切线的性质定理、平行线等分线段定理、梯形的中位线定理．能够发现此图中30度的直角三角形，熟练运用特殊角的锐角三角函数值进行计算．