Question

如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC=1km，B村到公路l的距离BD=2km，B村在A村的南偏东45°方向上．
（1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．

Answer 1

分析：（1）易得∠CAB=45°那么可根据45°的三角函数来求得AB的两段长，相加即可；
（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．到点A，B的距离相等，应在线段AB的垂直平分线上．

解答：解：（1）设AB与CD的交点为O，根据题意可得∠A=∠B=45度，
∴△ACO和△BDO都是等腰直角三角形．（1分）
∴AO=

2

，BO=2

2

．
∴A，B两村的距离为AB=AO+BO=

2

+2

2

=3

2

（km）．（4分）

（2）作图正确，痕迹清晰．（5分）
作法：①分别以点A，B为圆心，以大于

1

2

AB的长为半径作弧，两弧交于两点M，N，作直线MN；
②直线MN交l于点P，点P即为所求．（7分）

点评：到平面内两个点距离相等的点应在连接这两点的线段的垂直平分线上．