Question

【题目】如图AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CM，延长BC到点D，使CD=BC，连接AD交CM于点E，若⊙OD半径为3，AE=5，

（1）求证：CM⊥AD；

（2）求线段CE的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD，然后根据平行线的判定与性质证得结论；

（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.

证明：（1）连接OC

∵CM切⊙O于点C，

∴∠OCE=90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵CD=BC，

∴AC垂直平分BD，

∴AB=AD，

∴∠B=∠D

∵∠B=∠OCB

∴∠D=∠OCB

∴OC∥AD

∴∠CED=∠OCE=90°

∴CM⊥AD.

（2）∵OA=OB，BC=CD

∴OC=AD

∴AD=6

∴DE=AD-AE=1

易证△CDE～△ACE

∴

∴CE2=AE×DE

∴CE=